《土力學》教材中關于一維固結微分方程推導的討論

2019-08-29 08:50  來源:巖土網  閱讀:5304
土力學的“土”很為精于數學力學者所詬病與腹誹,這我們可以用學科特點來搪塞。但既然忝列于“力學”,基本的游戲規則還是要遵守的。連正負號都總是錯誤,那就是恥辱了。此文針對各種教材中的幾種情況與方法分別進行了推導與分析,但愿對于講授和學習《土力學》的師生們有所裨益。已是耄耋之年,經常犯糊涂而被老伴申斥,謬誤之處敬請指教。

《土力學》教材中關于一維固結微分方程推導的討論

李廣信

陳津民先生在2004年第4期的《巖土工程界》中發表了一篇“錯了八次正負號的正確解——一維滲流固結微分方程推導及其解”。指出有的《土力學》教材在這個方程推導中,正負號錯了八次,最后居然又回到正確的解答。可能是已知了正確的解,然后“湊”出來的(有趣的是,凡是正負號錯誤都是偶次。)。最近我在修訂我校的《土力學》教材第三版,翻閱了十幾本國內外的教材,發現在這個課題中罕有概念清楚,推導明白正確的。最近出版的河海大學第三版《土力學》中其推導是清楚和正確的,十分難得。

土力學的“土”很為精于數學力學者所詬病與腹誹,這我們可以用學科特點來搪塞。但既然忝列于“力學”,基本的游戲規則還是要遵守的。連正負號都總是錯誤,那就是恥辱了。此文針對各種教材中的幾種情況與方法分別進行了推導與分析,但愿對于講授和學習《土力學》的師生們有所裨益。已是耄耋之年,經常犯糊涂而被老伴申斥,謬誤之處敬請指教。

(一)方法1(坐標z和流向q均以向上為正)

這種方法國內教材比較少見,國外的教材倒是常有,但最后的邊界、初始條件與微分方程的形式往往是錯的。

微分方程的推導

圖片未命名

圖1

在圖1所示的飽和地基土中深度H-z處取一單位面積的微單元體,令dx=1,dy=1,厚度為dz,見圖1(b)。圖中定義坐標z以向上為正,流速流量向量也都以向上為正。

(1)微單元流出水量分析

在圖1(b)中,

流入流量:q

流出流量:圖片未命名

則在dt時段內凈流出水量:

圖片未命名

由于在數值上q=v,根據達西定律,則

圖片未命名

(注:流速向上為正,而孔壓u向上是減少的)

式中,h為土層中各點超靜孔壓的壓力水頭,圖片未命名

圖片未命名

代入式(a),

圖片未命名

(2)微單元體的體積壓縮量分析

設微單元體的體積為V, 在dt時段內微單元的體積壓縮量為正,表示為dV

圖片未命名

按照壓縮系數的定義:

圖片未命名

由于圖片未命名p為常數,所以圖片未命名則式(f)可寫為:

圖片未命名

將式(g)代入式(e)

圖片未命名

(3) 在dt時段內微單元凈流出水量圖片未命名等于其體積壓縮量dV

根據圖片未命名即(d)等于式(i),則

圖片未命名

即可表示為:

圖片未命名

其中

圖片未命名

     圖片未命名稱為固結系數,常用的單位有圖片未命名等.

式(2)是描述在滲流固結過程中,超靜孔壓時空分布的微分方程,其中圖片未命名圖片未命名成正比,而圖片未命名表示孔壓隨時間的變化率,所以可見固結系數圖片未命名是反映土體中孔壓變化速率的參數。

微分方程的解析解

式(2) 一般稱為一維滲流固結微分方程,可以根據不同的初始條件和邊界條件求得它的特解。對于圖1所示的瞬時加載情況:

圖片未命名

傅里葉級數可求得上述邊界條件和初始條件下的解答如下:

圖片未命名

式中:

m——正奇數(1.3.5......);

e——自然對數底數;

H——豎向排水的最長距離,單面排水時,等于土層厚度;雙面排水時等于土層厚度之半;

     圖片未命名——無量綱的時間因數,按下式計算:

圖片未命名

在上述的邊界條件下,微分方程的解析解式(6)具有如下特點:

(1)各項正弦函數值只含自變量z,表明孔壓在空間上的分布按三角函數分布;

(2)各項指數函數中只含自變量t,并且t前面的系數為負值,表明孔壓在時間上按照指數函數衰減;

(3)隨著m的增加,后面各項的影響急劇減小。

(二)方法2(坐標z向下,流向q向上為正)

這種形式與方法是國內教材最常用的,由于我國的教材基本靠“抄”,所以問題和錯誤也有很大的相似度。

微分方程的建立

圖片未命名

圖2

注:這種推導坐標z是以向下為正,以地面為0點。但是流速v,流量q都以真實方向為正(向上);體積也以壓縮為正。優點是符合實際工況、直觀,缺點是要時刻注意正負號。由于方向相反,推導中應十分謹慎。

(1)微單元流出水量分析

見圖2,

流入的流量:q

流出的流量:圖片未命名

(注:這里流出流量增量圖片未命名是正的,但q沿著z向下是遞減的圖片未命名)

在dt時段內凈流出水量圖片未命名

圖片未命名

(由于流速q向上為正,而圖片未命名向下則是正的,不加負號。)根據式(b),

圖片未命名

(注:這里的q,v和水力坡降i都是隨著z增加而減少的)

將(c)代入(a)


圖片未命名

(2)微單元的體積壓縮dV分析

以體積壓縮為正。設dt時段的體積壓縮量為dV,

圖片未命名

這里的dz是沒有方向的長度,按照式(4-11)壓縮系數的定義:

圖片未命名

由于圖片未命名p為常數,所以圖片未命名則式(f)可寫為:

圖片未命名

將式(g)代入式(e)

圖片未命名

(3)在dt時段內微單元凈流出水量圖片未命名等于其體積壓縮量dV

根據圖片未命名即(d)等于式(i),則

圖片未命名

即可表示為:

圖片未命名

(三)方法3(坐標z與流向q向下為正)

這是清華大學《土力學》教材所設的條件,抱歉的是正負號錯了兩次。

圖片未命名

圖3

(注:這種推導坐標z是以向下為正,以地面為0點。但是流速v,流量q也都以向下正;體積以壓縮為正。但由于方向與真實流向相反,結果是步步陷阱,推導中應步步謹慎。)

(1) 微單元流出水量分析

見圖3,盡管流向以向下為正,但微單元中水的流向真實流向的流量(速)是負的。

流出的流量:-q

流入的流量:-(q+dq)=-q-dq

在dt時段內凈流出水量圖片未命名

     圖片未命名

(注意,這里的圖片未命名是流出水量,是正值,是從微單元流向地面方向(上)的,所以)


圖片未命名

(這里流出流水圖片未命名是正的,但q沿著z向下是遞減的,即圖片未命名)

圖片未命名

(由于流速向下為正,而圖片未命名向下則是正的,假設水往高處流,i是水力坡降,在這里是負的。)

根據式(b),

圖片未命名

(這里的q,v和水力坡降i都是隨著z增加而減少的)

將(c)代入(a)

圖片未命名

(2)微單元的體積壓縮dV分析

以體積壓縮為正。設dt時段的體積壓縮量為dV,是正值,而de是負值:

圖片未命名

這里的dz是沒有方向的長度,按照式(4-11)壓縮系數的定義:


圖片未命名

由于圖片未命名p為常數,所以圖片未命名則式(f)可寫為:

圖片未命名

將式(g)代入式(e)

圖片未命名

(3) 在dt時段內微單元凈流出水量圖片未命名等于其體積壓縮量dV

根據圖片未命名即(d)等于式(i),則

圖片未命名

即可表示為:

圖片未命名

這里的正與負,涉及方向的正負,一般在圖中標注的就被認為是規定的正方向;也有應力、應變、體積的壓拉(脹)的正負規定,由于土力學中,以壓為正已經成為共識,所以要在推導中講清;還有就是增減的正負,它往往與方向正負規定有關。

這種推導的正確與否與概念是否清楚有關,應清楚真實水流是向上的,向上壓力是遞減的,流量是遞增的。脫離了基本概念,企圖用純數學推導是會脫離實際而犯錯誤的。

編教材不是只靠抄,名詞概念要去翻閱大量資料,要有自己的觀點;公式理論要自己推導,別人的東西可能是錯的;習題例題要自己親自去計算;圖表要校對要改進。以其昏昏,使人昭昭是會誤人子弟的。所謂“師德”“學術倫理”即使如此。

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我有話說

全部評論(4)

  • 1184645677發表于 10月31日 15:39這家伙很懶,沒有個性簽名!
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  • 空客凌云發表于 10月24日 16:10這家伙很懶,沒有個性簽名!
  • 向大師學習
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  • wyhbox發表于 09月01日 22:56修地球
  • 李老師治學嚴謹
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  • 18330382348發表于 08月30日 11:16這家伙很懶,沒有個性簽名!
  • 學習了,很贊!
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李廣信

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